Bayes tétele vagy az okok valószínűsége

Bayes tétele a valószínűségszámítás egyik pillére . Ezt az elméletet Thomas Bayes (1702-1761) terjesztette elő a 18. században. De mi a célja ennek a híres tudósnak a kutatásának? A valószínűség egy véletlenszerű folyamatban fejezi ki a kedvező esetek és a lehetséges esetek számának arányát.

Számos valószínűség-elméletet fejlesztettek ki, amelyek a mai létezésünket szabályozzák. Amikor elmegyünk az orvoshoz, azt a gyógyszert írja fel, amely a mi esetünkben a leghasznosabbnak bizonyul, ahogyan a hirdetők is azoknak ajánlják kampányaikat, akik nagy valószínűséggel vásárolják meg a reklámozni kívánt terméket, vagy azoknak a turistáknak és utazóknak, akik azt az útvonalat választják, ahol valószínűleg a legkisebb sorbanállás.

A teljes valószínűség törvénye az egyik leghíresebb, ezért mielőtt beszélnénk a Bayes tétele néhány sort kell szánnunk az első magyarázatára. Hogy megpróbálja megérteni, csak mondjon egy példát .

Mekkora a valószínűsége (P) annak, hogy ebben az országban egy véletlenszerűen kiválasztott személy a munkaképes lakosságból? munkanélküli ?

A valószínűségszámítás szerint az adatokat a következőképpen fejeznénk ki:

• Annak a valószínűsége, hogy a személy nő: P (M)
• Annak a valószínűsége, hogy a személy férfi: P (H)

Tudva, hogy a népesség 39%-a nőkből áll, ebből következtethetünk: P (M) = 039.

Nyilvánvaló tehát, hogy: P (H) = 1 – 039 = 061. Az elején feltett probléma a feltételes valószínűségeket is megadja:

• Annak valószínűsége, hogy egy személy munkanélküli, ha tudja, hogy nő -> P (P | M) = 022
• Annak valószínűsége, hogy egy személy munkanélküli, ha tudja, hogy férfi – P (P | H) = 014

A a teljes valószínűség törvénye nekünk lesz:

P (P) = P (M) P (P | M) P (H) P (P | H)

P (P) = 022 × 039 014 × 061

P (P) = 017

A . Megfigyeljük, hogy az eredmény félúton van a két feltételes valószínűség között (022<017 <014). Inoltre è più prossimo al valore degli uomini perché nella popolazione di questo paese immaginario sono la maggioranza.

Fedezzük fel Bayes tételét

Most tegyük fel, hogy egy felnőttet véletlenszerűen választanak ki egy űrlap kitöltésére, és megfigyelik, hogy nincs munkája. Ebben az esetben és az előző példát figyelembe véve mekkora a valószínűsége annak, hogy ez a véletlenszerűen kiválasztott személy nő -P (M | P) -?

A probléma megoldására alkalmazzuk Bayes-tételt amelyet egy esemény valószínűségének kiszámítására használnak előzetes információ birtokában . Kiszámíthatjuk egy A esemény valószínűségét, ha tudjuk, hogy megfelel bizonyos jellemzőknek (B).

Ebben az esetben arról beszélünk, hogy az űrlap kitöltésére véletlenszerűen kiválasztott személy nő. De azt

Bayes tételének képlete

Mint minden más tételnek, nekünk is szükségünk van egy képletre.

Bonyolultnak tűnik, de mindennek megvan a magyarázata. Gondolkozzunk részletekben. Mit jelentenek az egyes betűk?

B az eseményamelyekről előzetes információink vannak.
• L az A (n) betű a különböző feltételekhez kötött eseményekre utal.
• A számláló részben a feltételes valószínűség . Ez annak a valószínűségére vonatkozik, hogy valami (egy A esemény) bekövetkezik annak tudatában, hogy egy másik esemény (B) is bekövetkezik. Meghatározása P (A | B), és a következőképpen fejezhető ki: A valószínűsége egy adott B-nek .
• A nevezőben P (B) megfelelője van, és ugyanaz a magyarázat, mint az előző pontban.

Egy példa

Visszatérve az előző példához Tegyük fel, hogy egy felnőttet véletlenszerűen választanak ki egy kérdőív kitöltésére, és megfigyelik, hogy ő az munkanélküli . Mennyi az esélye, hogy ez a kiválasztott személy nő lesz?

Tudjuk, hogy az aktív népesség 39%-át nők teszik ki, míg a többit igen férfiak . Azt is tudjuk, hogy a munkanélküli nők aránya 22%, a férfiaké pedig 14%.

Végül azt is tudjuk, hogy annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott személy munkanélküli, 017. Ha alkalmazzuk a Bayes-tétel képletét, akkor azt az eredményt kapjuk, hogy 05 a valószínűsége annak, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott személy a munkanélküliek közül.

P (M | P) = (P (M) * P (P | M) / P (P)) = (022 * 039) / 017 = 05

Bayes tétele az összetett és az abszolút valószínűség-tétel együttállásából származik, amelyet az elején magyaráztunk. Fő jellemzője, hogy a valószínűség minden értelmezésében működik.

Mivel ezzel ki lehet számítani az eseményt kiváltó ok valószínűségét jelentősége abban rejlik, ahogyan történelmileg befolyásolta a statisztika tanulmányozását . Ma valójában két fő irányzat ismeretes (az egyik Frekvenista és a másik Bayes), amelyek az elméletnek adott értelmezésből kiindulva állítják szembe egymást.

Egy érdekességgel zárjuk: tudtad, hogy az elektronikus spam (az a Internet e-mail hirdetések) működik Bayes tételének köszönhetően?